Multimi


Te rog sa ti cont de faptul ca blog-ul acesta s-a mutat.

Acum a primit (cadou de Craciun) propriul sau domeniu: mynixworld.info🙂

Daca doresti sa citesti ultimva versiune a acestui articol (lucru recomandat) te rog da click aici si ma ocup eu sa deschid pagina pentru tine.

Definitia 1.1 (Cantor): Prin multime intelegem o colectie de obiecte bine determinate si distincte. Obiectele din care este constituita multimea se numesc elementele multimii. Doua multimi sunt egale daca ele sunt formate din exact acelea,si elemente.

Notatia 1.2 Daca x este un obiect si A este o multime, vom nota:

  • x ∈ A daca x este element al lui A;
  • x ∉ A daca x nu este element al lui A.

Observatia 1.3 Doua multimi A si B sunt egale daca ,si numai daca are loc echivalenta:

(x ∈ A , x ∈ B)

Moduri de a defini o multime:

  • sintetic, prin enumerarea elementelor multimii, e.g. A = {0, 1};
  • analitic, cu ajutorul unei proprietati care caracterizeaza elementele multimii:

A = {x | x are proprietatea P}
e.g. A = {x | x ∈ N, x < 2} = {x ∈ R | x² = x}.

Multimi importante

  • Multimea numerelor naturale: N

N = {0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . . }
N* = {1, 2, . . . , n, n + 1, . . . }

  • Multimea numerelor intregi: Z

Z = {. . . , -n – 1, -n, . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . . }

  • Multimea numerelor rationale: Q

Q = {a/b | a, b ∈ Z, b ≠ (a/b=p/qaq=bp)}

  • Multimea numerelor reale: R
  • Multimea numerelor complexe: C = {x + iy | x, y ∈ R}
  • Multimea vida ∅ = {x | x ≠ x}

Incluziunea multimilor
Definitia 1.4 Daca A si B sunt multimi, spunem ca A este submultime a multimii B daca toate elementele lui A sunt si elemente ale lui B.

Notatia 1.5 Notam A ⊆ B faptul ca A este o submultime a multimii B.

Observatia 1.6 Urmatoarele afirmatii sunt adevarate, oicare ar fi multimile A, B si C.

  1. A ⊆ B (∀x ∈ A, x ∈ B) (x ∈ A => x ∈ B)
  2. A = B (A ⊆ B si B ⊆ A) (antisimetria)
  3. A ⊆ B si B ⊆ C => A ⊆ C
  4. A ⊆ A
  5. ∅ ⊆ A

Operatii cu multimi

  • intersectia: A ∩ B = {x | x ∈ A si x ∈ B}
  • reuniunea: A ∪ B = {x | x ∈ A sau x ∈ B}
  • diferenta: A \ B = {x | x ∈ A si x ∉ B}
  • complementara: Daca A ⊆ E, atunci Ce(A) = E \ A

Propozitia 1.7 Urmatoarele afirmatii sunt adevarate pentru orice multimi A, B, C si E.

  • (as) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C; A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C; (asociativitatea operatiilor ∩ si ∪)
  • (com) A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A; (comutativitatea operatiilor ∩ si ∪)
  • (dis) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A∪C); (distributivitatea operatiei ∩ fata de ∪, respectiv a operatiei ∪ fata de ∩)
  • (abs) A ∩ (A ∪ B) = A; A ∪ (A ∩ B) = A; (absortia)
  • (dM) Ce(A ∩ B) = CeA ∪ CeB; Ce(A ∪ B) = CeA ∩ CeB (formulele lui de Morgan)

About Eugen Mihailescu

Always looking to learn more about *nix world, about the fundamental concepts of arithmetic, algebra and geometry. I am also passionate about programming, database and systems administration.
This entry was posted in Arithmetics, Maths and tagged , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s